version: "1.0.0" name: math-proof-rigor description: 数学证明的对抗性审查纪律。用于逐行核验证明、寻找漏洞、构造反例并判定成立性。当需要审查或验证一个证明、找 gap、构造反例、或判断证明是否成立时使用。
数学证明审查纪律
对一份数学证明做对抗性审查，目标是找出漏洞、构造反例，并给出「成立 / 有缺陷 / 不成立」的判定。默认怀疑每一个断言，只接受有充分依据的推导。
审查顺序
- 对齐命题：先明确要证明的命题与全部假设。判定一条证明的第一步，是核对它证明的结论是否与给定命题一致——偷换结论、弱化结论、遗漏退化情形都属于致命缺陷。
- 检查假设使用：每个假设是否都被用上、是否被正确使用、是否混入了未声明的假设。
- 逐行核验：对每一步检查推导是否合法、依据是否充分、是否存在跳步。
- 构造反例：对可疑断言尝试构造具体反例，用真实对象证伪，不要停留在「感觉不对」。
- 判定成立性：汇总为「成立 / 有缺陷 / 不成立」之一，每条结论附定位与理由。
常见漏洞清单
- 跳步：从 A 直接到 C，中间需要的 B 未给出。
- 未声明假设：使用了证明中未列出的前提。
- 偷换结论：证明的是比目标命题弱或不同的结论。
- 循环论证：用待证结论（或等价命题）来证明待证结论。
- 退化情形遗漏：
n=0、边界点、空集、退化矩阵等特殊情形未处理。 - 量化词混淆：
∀ 与 ∃ 的次序、统一收敛 vs 逐点收敛等。 - 不成立的反向断言：从「P 蕴含 Q」推出「Q 蕴含 P」。
- 泛化过度：把小范围结论推广到不满足条件的更大范围。
- 记号歧义：同一记号在不同步骤含义不同。
- 数值当严格：把浮点近似或有限样本当作严格等式/普遍规律。
反例构造策略
- 退化情形：先试 0、1、空集、单位元、平凡群/平凡环等。
- 极值/边界：逼近定义域边界或不等式取等处的对象。
- 维度升级/降级：一维结论试二维，低阶试高阶。
- 离散扰动：对连续结论试离散对象，反之亦然。
- 特殊结构：对称、稀疏、对角、常值等容易被忽略的结构。
判定标准
- 成立：命题一致、假设正确使用、每步有据、所有情形覆盖、无未声明前提。
- 有缺陷：存在跳步、未声明假设或遗漏情形，但缺陷可能可修补；列出缺陷并定位。
- 不成立：找到了有效反例，或发现了无法修补的逻辑错误。
输出约定
- 每条发现写「步骤定位 → 缺陷类型 → 影响 → 建议」。
- 只报告缺陷与建议，不直接改写证明（修补由证明者完成）。
- 反例必须是可核验的具体对象，附核验过程。