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解析几何与圆锥曲线

适用于直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线、弦、切线、焦点、离心率、轨迹和参数关系，必须同时维护代数方程和几何图像。纯平面合成证明使用 plane-geometry；复杂参数曲线用 parametric-polar-curves；仅凭绘图精度不能判断重根、相切或一般性结论。

工作顺序：

1. 先画坐标系、曲线、焦点/准线/中心/渐近线等关键元素。
2. 直线与曲线位置关系用交点、判别式、弦长、中点和斜率展示。
3. 切线题标出切点、切线、法线或斜率条件；轨迹题用动点和参数滑块展示生成过程。
4. 选择题逐项检查焦点、离心率、渐近线、范围或交点数量。

小型原生例子：椭圆的水平弦

例子独立；执行前先确认名称无冲突，再按行输入。

F1 = (-2, 0)
F2 = (2, 0)
P = (0, 3)
ellipse = Ellipse(F1, F2, P)
focusSum = Distance(P, F1) + Distance(P, F2)
focusGap = Distance(F1, F2)
validEllipse = focusSum > focusGap
U = (0, 1)
V = (1, 1)
chordLine = Line(U, V)
X = Intersect(ellipse, chordLine, 1)
Y = Intersect(ellipse, chordLine, 2)
M = Midpoint(X, Y)
midpointCheck = x(M) == 0

预期：初始 focusSum = 2sqrt(13) > focusGap = 4、validEllipse = true，椭圆方程为 x²/13 + y²/9 = 1，M = (0, 1)、midpointCheck = true。移动 P 时曲线、焦距和交点必须联动。正常检查可将 P 移到不等距位置 (1, 3)：此时两焦距分别为 sqrt(18) 与 sqrt(10)，其和仍大于 4，椭圆继续有效；边界检查割线相切时两交点合并。由三角不等式总有 focusSum >= focusGap；等号恰在 P 位于焦点线段上时成立，此时椭圆退化为线段。两焦点重合则是圆的特殊情形，须与线段退化区分。

常用 GeoGebra 方向：Line、Circle、Ellipse、Hyperbola、Parabola、Intersect、Tangent、Locus。

只使用原生命令，不使用 JavaScript、XML 或 Execute；交点分支、切线参数或命令签名不确定时先用 searchGeoGebraCommands 核对。

官方参考：Conic sections、Ellipse、Intersect、Tangent。