version: "1.0.1" name: "qsvt-qlsa" description: "Quantum Singular Value Transformation (QSVT) based Linear System Solver (QLSA) implements matrix inversion through polynomial approximation, offering significant asymptotic complexity advantages."

QSVT QLSA

Purpose

Use this skill for the QSVT QLSA algorithm implemented in unitarylab_algorithms/linear_algebra/qsvt_qlsa.

Source Of Truth

• Algorithm source: unitarylab_algorithms/linear_algebra/qsvt_qlsa/algorithm.py
• Parameter metadata: unitarylab_algorithms/linear_algebra/qsvt_qlsa/parameters.json or setup.json
• Readme notes: unitarylab_algorithms/linear_algebra/qsvt_qlsa/README_zh.md, README_en.md, or README.md

Using The Provided Implementation

import numpy as np
from unitarylab_algorithms.linear_algebra.qsvt_qlsa.algorithm import QSVTLinearSolverAlgorithm
A = np.array([[0.8, 0.0], [0.0, 0.4]])
b = np.array([1.0, 2.0])
algo = QSVTLinearSolverAlgorithm(text_mode="plain")
result = algo.run(A=A, b=b, epsilon=0.0001, backend='torch', device='cpu', dtype=np.complex128)
print(result)

Adjust the parameters according to the table below and the source run() signature.

Core Parameters

Implementation Notes

• Main class: QSVTLinearSolverAlgorithm
• Run signature observed from source: run(A, b, epsilon, backend='torch', device='cpu', dtype=np.complex128)
• If result keys or generated output files change, update the usage example and return-field notes in this file.

Critical Theoretical Constraints

The QSVT linear-system solver is valid only when the matrix access model and polynomial transform satisfy the theoretical requirements below. Violating these assumptions can produce results that look numerically plausible but are not guaranteed to correspond to a realizable QSVT linear solver.

• Block encoding: A must admit an $(\alpha, a, 0)$-block encoding with subnormalization factor $\alpha \ge \|A\|$. The effective QSVT condition parameter is $K = \alpha / \sigma_{\min}(A)$, not simply the ordinary matrix condition number $\kappa(A)$.
• Bounded polynomial: The inverse polynomial approximation $P(x) \approx 1/(2Kx)$ must obey $|P(x)| \le 1$ for every $x \in [-1, 1]$, not only on the spectral interval $[1/K, 1]$. A polynomial that fits the singular values well but exceeds 1 in the spectral gap is not physically realizable by QSVT.
• Post-selection probability: The linear-solver success probability scales as $\Omega(1/\kappa_A^2)$ for the relevant scaled system. Ill-conditioned inputs may require amplitude amplification, adding an $O(\kappa_A)$ factor.
• End-to-end complexity: The polynomial degree $d = O(K \log(K/\epsilon))$ is the cost per block-encoding query. Full solution-state preparation with amplitude amplification costs $O(K \cdot \kappa_A \cdot \log(K/\epsilon))$ block-encoding queries. Do not report the polynomial degree alone as total query complexity.

Return Fields

README-Derived Notes

基于 QSVT 的线性方程组求解算法详解

参数设置

• A: 线性方程组中的系数矩阵。
• b: 右端向量。
• epsilon: 目标逼近精度，用于传递给底层 QSVT 线性求解器。

总结：该算法接收矩阵 A、向量 b 和目标精度 epsilon，并调用仓库中的 QSVTSolver(A, b, epsilon) 完成基于 QSVT 的线性求解流程。最终计算得到的结果包括求解得到的解向量、求解过程中使用的缩放因子、运行时间以及生成的量子电路文件。

目录

• 运行流程
• 核心思想
• 数学原理
• 算法步骤
• 量子优势
• 复杂度分析
• 应用与影响

运行流程

1. 输入记录与参数传递：接收 A、b 与 epsilon，并将其记录到算法输入信息中。
2. 调用底层 QSVT 求解器：通过 QSVTSolver(A, b, epsilon) 执行实际的 QSVT 线性求解流程，返回量子线路、解向量和缩放因子。
3. 运行时间统计：记录求解器完成所需的总时间。
4. 结果整理：将解向量、缩放因子和仿真时间写入输出结构，并生成执行摘要。
5. 文件导出：保存量子电路图和文本结果文件，并返回统一结果字典。

核心思想

QSVT 线性求解的核心思想，是把矩阵求逆问题转化为对奇异值的函数变换问题。若能够把矩阵 A 通过块编码嵌入到幺正算子中，那么就可以借助量子奇异值变换对其奇异值近似施加 1/x 型映射，从而在量子态上实现与 A^{-1} 成比例的效果。当前这个算法文件本身并不手写这些门级细节，而是把实际实现委托给 unitarylab.library.linear_solver.QSVTSolver。

数学原理

设矩阵的奇异值分解为 $$ A = U \Sigma V^{\dagger}. $$ QSVT 的基本思想是：若一个块编码幺正算子能够表示矩阵 A，则可以通过交替相位旋转，把一个多项式函数施加到奇异值对角矩阵 \Sigma 上，从而得到对目标矩阵函数的逼近。对于线性方程组 $$ A x = b, $$ 关键目标是近似构造与 $$ f(x) = \frac{1}{x} $$ 对应的奇异值变换。于是可以把 A 的奇异值映射为其倒数，并在合适的归一化和后处理下得到与解向量成比例的量子结果态。

在当前仓库实现中，这些具体的块编码、多项式设计、相位序列生成与线路构造过程都封装在 QSVTSolver 中；当前 algorithm.py 的职责是组织输入、调用求解器，并保存返回的线路和求解结果。

算法步骤

1. 读取矩阵 A、向量 b 和误差参数 epsilon。
2. 调用底层 QSVTSolver 构造 QSVT 线性求解线路并执行相关求解流程。
3. 接收返回的量子电路、解向量和缩放因子。
4. 统计运行时间并写入输出结果。
5. 导出电路图和文本结果文件。

量子优势

复杂度分析

从当前文件可直接确认的成本主要包括一次底层 QSVTSolver 调用以及电路导出开销。更细的复杂度则取决于底层 QSVT 实现中的块编码方法、多项式次数、目标精度 epsilon、缩放因子以及矩阵条件性质。也就是说，本文件是一个轻量包装层，而真正的线路深度和资源复杂度由库内求解器决定。

理论上，逆函数近似多项式的次数 $d = O(K \log(K/\epsilon))$ 只对应每次块编码查询的多项式变换成本，其中 $K = \alpha / \sigma_{\min}(A)$。完整制备线性系统解态还需要考虑后选择成功概率；若使用幅度放大，总查询复杂度应按 $O(K \cdot \kappa_A \cdot \log(K/\epsilon))$ 级别说明，而不能只引用多项式次数作为端到端复杂度。

应用与影响

• 可作为量子线性代数与量子机器学习任务中的线性求解子程序。
• 是把 QSVT 理论框架落到线性系统求解上的代表性接口之一。
• 适合作为进一步研究块编码、矩阵函数逼近和高级量子数值算法的入口。

Maintenance Checklist

When updating this skill after algorithm changes:

1. Re-read algorithm.py and parameter metadata.
2. Update parameter defaults, constraints, return fields, and examples.
3. Run or dry-run the updater skill script from the workspace root.
4. Keep this leaf skill focused on usage and implementation guidance; keep category routing in the parent SKILL.md.